Alicia, Narciso, las matemáticas y los espejos
Por Javier Bracho
En el mito de Narciso el espejo de agua que genera un estanque transforma la realidad física en una imagen contundente, inasible y cautivadora hasta la fatalidad. En la fantasía de Alicia, el espejo que enmarca su sala victoriana es un portal que conduce a un mundo paralelo con lógica propia y aparentemente inescrutable. Las matemáticas comparten rasgos de ambas historias (y también cierta fascinación por los espejos). Para Julia Carrillo, cuya obra artística motiva, ilustra e inspira este texto, los espejos son el medio para crear espacios abstractos que remiten a Alicia y a las matemáticas, dejando fuera de escena a Narciso —como personaje psicológico, más no como el mito que alude al poder hipnótico de una imagen etérea.
Eco es la ninfa que conduce a Narciso al estanque fatídico. Sufre la maldición de sólo ser capaz de verbalizar lo último que escucha. Refleja la realidad sonora tal como el espejo de agua, la lumínica. Y son estos dos reflejos los que llevan a Narciso a su calamidad. “Se enamora perdidamente de sí mismo” reza la interpretación que ha devenido en cuadro o estereotipo psicológico. Pero en el texto original de Ovidio, esto no es estrictamente cierto: se enamora de su imagen, de su reflexión en el estanque —que es algo diferente de sí mismo— y es a esta visión irresistible a la que ansía tocar, la que enciende sus deseos, de la que no se puede despegar. La imagen cobra vida propia y adquiere poder. La matemática es eso: un reflejo de la realidad en el espejo de la mente humana que se produce cuando se intenta hacer de aquella algo inteligible; la imagen cobra vida propia y poder, logra seducir fatalmente a seres que dedican su existencia a servir, entender y fortalecer ese espejismo útil. Está allí enfrente de ellos, contundente al grado de que ya no pueden apartar su atención de él, llegan a quedar estupefactos, absortos y con sus capacidades sociales adormecidas, secuestradas. Por suerte, no consume su vida con la celeridad mortífera con que su imagen acabó con Narciso y entonces se permiten convivir con otros seres humanos que, no sin cierta razón, los tildan de “narcisos distraídos”.
Es difícil ver un espejo sin que se aparezca “Yo”, ese narcisillo en ciernes que vive agazapado tras el vidrio. Esa imagen que magnifican los Narcisos Graduados al grado de dejarla escapar de su mundo paralelo para lanzarse a la conquista del nuestro. Por eso es de remarcar, y contribuye al encanto de Alicia, que ella o su Yo nunca aparezca en el espejo. Nunca se ve. Lo importante no es Yo en el primer plano sino una honesta e intensa curiosidad por explorar el fondo de la escena, la casa del espejo (the Looking-glass house) —“hecha como la nuestra pero con todo al revés” (the other way around). ¿Qué habrá a la vuelta de la esquina de la chimenea? ¿qué, más allá de lo que se alcanza a ver del pasillo? son las interrogantes que la intrigan y obsesionan. El suyo es un espejo impersonal, anti-narciso, como son los de Julia: no muestran a un Yo sino a un mundo y, más aún, lo crean. En el caso de Alicia, la atención está puesta obsesivamente en eso que vemos en cada espejo. Una réplica exacta de nuestro mundo (aunque puesto “al revés”) y al cual se asoma uno a través de una ventana infranqueable que sólo permite husmear —y en estricto papel de “voyeurs”— una pequeña porción de él. ¿Qué hay en el resto? es lo que mueve a Alicia. Cuando voltea la mirada al reloj que descansa en la repisa, recargado en el espejo que acaba de traspasar: ¡su carátula ha cambiado! Tiene dibujado un monito burlón. Ya está en the Looking-glass house: en un mundo paralelo obligado a mantener idéntico sólo lo estrictamente necesario (no así a la solemne carátula del reloj real, pues ésta enfrenta a la habitación real lo que hace imposible verla en el espejo) y al explorar el inmenso complemento de la sala visible desde la ventana-espejo, transcurre su fantasía.
En el caso de Julia, el mundo paralelo que crea no es una fantasía, es real. Está allí: es una imagen tridimensional contundente, a la que solo se puede acceder con la mirada, y está creada a partir de un pequeño fragmento, o astilla, de nuestra realidad multiplicada en un sinnúmero de imágenes dislocadas pero armónicamente superpuestas. Es un universo onírico habitado por sólidos volando sin esfuerzo alguno. Están impávidos justo donde cierta geometría les dicta que deben estar y rallando disciplinadamente en la perfección. Son cubos luminosos guardando estrictamente sus distancias. Hay algo de abstracción y a la vez de concreción: “no existe pero está ahí porque lo estoy viendo”. ¿Cómo lo logra? Simple: con varios espejos.
Para entender la interacción de dos o más espejos hay que abstraer (“reflejar la realidad en el espejo de la mente”). Y para abstraer el efecto de un espejo, conviene convertirlo en un plano infinito capaz de actuar sobre los dos lados en que parte al espacio, intercambiándolos. Como es frecuente en matemáticas, para entender la realidad se le corrige la plana (en nuestro caso, se le otorga al espejo el poder pleno que insinúa el objeto físico) y entonces se concibe a la reflexión como una transformación de todo el espacio en sí mismo. Intercambia los dos lados del plano-espejo y por ende cambia la orientación, pues las direcciones de enfrente y hacía atrás del espejo-plano se permutan. Es por esto que Yo es tan torpe para darnos la mano, porque aunque esté ahí, amigable, esperando órdenes y viéndonos de frente: siempre lo intentará con su mano izquierda.
Como transformación del espacio, una reflexión tiene otra propiedad significativa y singular: es su propia inversa o, dicho técnicamente, es una involución. Esto quiere decir que al aplicarla una segunda vez todo regresa a su lugar —“lo que Yo ve corresponde justo a lo que veo yo”. Pero cuando se componen dos reflexiones distintas se obtiene otra de las transformaciones más comunes: una rotación o una translación.
Para verlo con cuidado conviene nombrar: sean E y F dos planos y, a la vez, las reflexiones en ellos. Para fijar ideas, consideremos primero el caso en que los planos E y F son paralelos: digamos que E es el espejo de enfrente en una peluquería y F es el de atrás. E nos separa de una copia exacta de la peluquería a la cual, para distinguirla, podemos llamar “estética”: tiene todo idéntico pero al revés (en la estética la gente se saluda con la mano izquierda con una destreza admirable). Si llamamos p al peluquero, se antoja llamar q al estilista que produce E, y escribir
p⋆E = q,
que se puede leer “p bajo el efecto de E es q” o “la acción de E en p es q” o “p en (el espejo) E es q” o simplemente “p estrellita E es igual a q”. (Esta ecuación resalta lo que vemos y hacemos mil veces a diario: las transformaciones del espacio tienen efecto sobre los objetos que viven en él y cualquier movimiento de un objeto rígido, mover de lugar una taza sobre la mesa por ejemplo, tiene asociado una transformación de todo el espacio al centrar el sistema de coordenadas del universo en ese objeto.) Nos interesaba ver qué transformación es E seguida de F que se denota EF, como en la multiplicación abstracta. Como con la taza, basta conocer su acción en el peluquero:
p⋆EF = (p⋆E)⋆F = q⋆F,
que claramente es un peluquero por ser el reflejado de un estilista, y es justo el que atiende la peluquería que está detrás de la estética contigua al espejo F. Así que EF es una translación hacía atrás del doble del ancho de la peluquería. Es interesante ver usando únicamente que E y F son involuciones, que FE es la traslación inversa de EF (empujar para adelante esa misma distancia). Para esto, debemos introducir un nombre y un símbolo para la transformación “no hacer nada”: la llamamos identidad y la denotamos I. Entonces,
(EF)(FE) = EFFE = E(FF)E = EIE = EE = I,
pues FF = I = EE por ser reflexiones, e IX = XI = X para cualquier transformación X.
Si los espejos E y F no son estrictamente paralelos (que es lo más probable), entonces como planos se intersectan en una línea abstracta, llamémosla 𝓁, que (pensando que el ancho de la peluquería es constante) está más lejos conforme más cerca de estar paralelos se encuentren E y F … y esto se mide con ángulos. Sea α el ángulo entre F y E, medido en 𝓁. Que α sea cero significa paralelismo perfecto (y que 𝓁 se fue al infinito); que α sea 90 grados (o mejor aún, π/2) significa que los espejos están en paredes perpendiculares y que 𝓁 es su esquina. Supongamos que α no es cero pero piénsesele chica: resulta, con los mismos argumentos del párrafo anterior, que FE es la rotación en el eje 𝓁 de un ángulo 2α, (mueve F a E y se repite ese movimiento para mandar la peluquería en otra peluquería y no en una estética).
En cualquier caso, E y F generan lo que se llama un grupo de transformaciones que corresponden a las palabras en las letras E y F sin repeticiones (pues éstas se pueden cancelar) y cada una de ellas es una transformación. También se pueden asociar los elementos del grupo a las imágenes. Con ángulo α= 0 (espejos paralelos) las imágenes son un tren infinito con vagones de peluquería y estética intercalados (correspondiendo a palabras pares e impares respectivamente). Al abandonar al 0 y conforme aumenta el ángulo, el tren se va acomodando en un círculo centrado en 𝓁 y de radio cada vez más pequeño. Fijemosα> 0: lo que ve p desde su peluquería es un pasillo circular (y por lo tanto finito) de radio la distancia a la recta abstracta 𝓁, llega un punto donde la realidad acotada del espejo y de las paredes ya no le permiten ver más allá (ahí es donde empieza el terreno de Alicia); pero en la abstracción, podemos seguir componiendo rotaciones FEFE…FE… hasta que la peluqueríaEstética dé una vuelta completa y se traslape consigo misma. Pueden pasar dos cosas, que en algún momento regrese con ajuste perfecto (que FEFEFE…FE = I) y el grupo sea finito, o que siga dando vueltas por siempre y regresando una y otra vez pero “dislocado”, sin acoplarse del todo. En el primer caso (así como en el de espejos paralelos) decimos que el grupo es discreto pues las imágenes de un punto no se pueden acercar demasiado a sí mismas. Este concepto básico se generaliza al caso en que se incluyen más espejos y el alfabeto crece: una letra para cada espejo.
Harold S. M. Coxeter, el geómetra más prominente del Siglo XX, clasificó a los grupos discretos generados por reflexiones a los que llamó caleidoscopios. En dimensión 3, con 4 espejos sólo hay 3 —aunque hay otro grupo discreto generado con 6 espejos en los lados de una caja perfecta (peluquería en tres direcciones ortogonales) pero éste se considera el producto de tres grupitos peluqueros (de dimensión 1). En su caleidoscopio, y este sí de carne y hueso o, literalmente vidrio y madera, Julia Carrillo también usa 6 espejos pero sin paralelismos obvios. Con 3 de ellos genera un grupo discreto y finito, de simetrías del icosaedro, y al añadir otros 3, el grupo que se genera se hace indiscreto e infinito pero —aunque como matemáticos frunzamos el ceño— la imagen que se produce, y aquí entra la maestría técnica de Julia en escena, tiene una enorme fuerza, sentido y calidez hipnótica pues el grupo actúa sólo sobre una pequeña porción de realidad y además, de sus posibles réplicas la posición de los ojos del observador escoge sólo unas cuantas (las que sí se logran ver). La misma indiscreción del grupo es la que va generando pequeñas fragmentaciones y brincos de la imagen al ritmo de la profundidad y, en cierta forma, acentuándola. En segundos y terceros planos se ven copias perfectas del icosaedro, instancias de grupos discretos centradas, o trasladadas, un poquito más allá del centro; pero en la lejanía, el caos que produce la indiscreción junto con la “vitrificación” del ambiente (pues la luz ya tuvo que atravesar muchos vidrios antes de llegar al voyeur) se va imponiendo. La astilla de realidad que se multiplica para generar el “espacio de Julia” es el interior del caleidoscopio-objeto: centro del espacio virtual ¿o será visual? En primera instancia, sus copias (20 palabras en tres letras que corresponden a los espejos del otro lado del que se asoma) ajustan perfecto para generar (a partir de un triángulo-ventana) un icosaedro y (por el volumen que es la astilla) su entorno. Sus siguientes reproducciones (entran 3 nuevas letras al juego algebraico del grupo) siguen pareciendo nítidas y coherentes, pero poco a poco (se alargan las palabras) las copias se desmembran conforme la indiscreción gana terreno para ir aglomerándose en un fondo que se desenfoca y fractaliza en lontananza vítrea.